\chapter{托勒密《天文学大成》弦表推导过程研究}

\date{2025.08.26}

	\begin{abstract}
		本文详细研究克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy，约100年-170年）在其著作《天文学大成》中推导弦表（Chord Table）的数学过程。托勒密在希帕霍斯工作的基础上，发展了一套系统而精密的方法来计算圆的弦长与对应圆心角的关系。本文重点阐述托勒密如何利用圆内接正多边形、毕达哥拉斯定理以及巧妙的几何构造，从基本的几何关系出发，通过迭代计算推导出从0°到180°每隔半度的精确弦值。其核心在于\textbf{半角公式}、\textbf{补角公式}以及\textbf{正五边形和正十边形的弦长计算}。托勒密的方法不仅体现了古希腊几何学的严谨性，也展示了早期三角学的精密计算水平。
		
		\textbf{关键词：} 托勒密；天文学大成；弦表；三角学；古希腊数学；半角公式
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在《天文学大成》第一卷第10章至第11章中，托勒密系统阐述了他如何编制一张包含从0°到180°每隔半度圆心角所对应弦长的详细表格。这张弦表本质上等价于现代的正弦函数表，关系为 $\text{crd}(\theta) = 2R \sin(\theta/2)$，其中托勒密取圆的半径 $R = 60$ 单位以便计算。托勒密的工作建立在希帕霍斯的基础上，但他在数学方法的严谨性和计算的精密性方面都做出了重要发展。本文旨在重构托勒密推导弦表的完整数学过程。
	
	\section{托勒密的数学基础与基本公式}
	
	\subsection{基本定义与符号}
	\begin{itemize}
		\item 设圆的半径 $R = 60$ 单位（采用六十进制以便计算）
		\item 对于圆心角 $\theta$，其对应的弦长记为 $\text{crd}(\theta)$
		\item 基本几何关系：$\text{crd}(\theta) = 2R \sin(\theta/2)$
	\end{itemize}
	
	\subsection{已知的基础弦值}
	通过简单几何关系可直接得到：
	\begin{align*}
		\text{crd}(60^\circ) &= R = 60 \\
		\text{crd}(90^\circ) &= R\sqrt{2} \approx 84.8528 \\
		\text{crd}(120^\circ) &= R\sqrt{3} \approx 103.923 \\
		\text{crd}(180^\circ) &= 2R = 120
	\end{align*}
	
	\subsection{补角公式}
	托勒密利用圆内接四边形性质（实为托勒密定理的特例）得到：
	\begin{equation}
		[\text{crd}(180^\circ - \theta)]^2 = (2R)^2 - [\text{crd}(\theta)]^2
	\end{equation}
	该公式使得可以从锐角的弦长直接得到钝角的弦长。
	
	\section{半角公式的推导与证明}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth]
			% 定义半径
			\def\R{3cm}
			\def\alpha{60} % 圆心角AOB的度数
			
			% 坐标点
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (A) at (0:\R);
			\coordinate (B) at (\alpha:\R);
			\coordinate (C) at ({\alpha/2}:\R); % 弧AB的中点
			\coordinate (D) at ($(A)!.5!(B)$); % 弦AB的中点
			
			% 绘制圆
			\draw[thick] (O) circle (\R);
			
			% 绘制半径和弦
			\draw[thick, blue] (O) -- node[above left] {$R$} (A);
			\draw[thick, blue] (O) -- node[above right] {$R$} (B);
			\draw[thick, blue] (O) -- node[left] {$R$} (C);
			\draw[thick, red] (A) -- node[below] {$\text{crd}(\alpha)$} (B);
			\draw[thick, green!70!black] (A) -- node[above left] {$\text{crd}(\alpha/2)$} (C);
			\draw[thick, green!70!black] (C) -- node[above right] {$\text{crd}(\alpha/2)$} (B);
			
			% 绘制辅助线
			\draw[thick, dashed, orange] (C) -- (D);
			\draw[thick, dashed, magenta] (O) -- (D);
			
			% 标记直角
			\draw[thick, dashed] (D) -- ($(D)!0.3cm!(O)$);
			\draw[thick, dashed] (D) -- ($(D)!0.3cm!(C)$);
			\draw ($(D)+(0.1,0)$) rectangle ($(D)-(0.1,0.1)$);
			
			% 标记角度
			\pic [draw, ->, angle radius=1cm, angle eccentricity=1.2, 
			"$\alpha$", thick] {angle = A--O--B};
			\pic [draw, ->, angle radius=0.7cm, angle eccentricity=1.3, 
			"$\alpha/2$", thick] {angle = A--O--C};
			\pic [draw, ->, angle radius=0.7cm, angle eccentricity=1.3, 
			"$\alpha/2$", thick] {angle = C--O--B};
			
			% 标记点
			\fill (O) circle (2pt) node[below left] {$O$};
			\fill (A) circle (2pt) node[right] {$A$};
			\fill (B) circle (2pt) node[above right] {$B$};
			\fill (C) circle (2pt) node[above] {$C$};
			\fill (D) circle (2pt) node[below] {$D$};
			
			% 添加长度标记
			\draw[<->, dashed] (O) -- node[left] {$OD$} (D);
			\draw[<->, dashed] (D) -- node[below right] {$CD$} (C);
		\end{tikzpicture}
		\caption{半角公式推导几何示意图}
		\label{fig:half-angle}
	\end{figure}
	
	托勒密的半角公式推导是弦表计算的核心。考虑圆心角 $\alpha$，其弦为 $AB = \text{crd}(\alpha)$。设 $C$ 是弧 $AB$ 的中点，则 $OC$ 平分 $\angle AOB$ 且垂直平分弦 $AB$ 于 $D$。
	
	在直角三角形 $ADO$ 中：
	\begin{align*}
		AD &= \frac{1}{2} \text{crd}(\alpha) \\
		OA &= R \\
		OD &= \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{R^2 - \left( \frac{\text{crd}(\alpha)}{2} \right)^2}
	\end{align*}
	
	线段 $CD = OC - OD = R - OD$。
	
	在直角三角形 $ADC$ 中应用毕达哥拉斯定理：
	\begin{align}
		[\text{crd}(\alpha/2)]^2 &= AD^2 + CD^2 \notag \\
		&= \left( \frac{\text{crd}(\alpha)}{2} \right)^2 + \left( R - \sqrt{R^2 - \left( \frac{\text{crd}(\alpha)}{2} \right)^2} \right)^2
	\end{align}
	
	托勒密给出了一个更实用的形式：
	\begin{equation}
		[\text{crd}(\alpha/2)]^2 = R(2R - \text{crd}(180^\circ - \alpha))
	\end{equation}
	
	\section{正五边形与正十边形的弦长计算}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.0, >=stealth]
			% 定义半径
			\def\R{3cm}
			
			% 绘制圆
			\draw[thick] (0,0) circle (\R);
			
			% 绘制正五边形
			\foreach \i in {0,...,4} {
				\pgfmathsetmacro{\angle}{90 + \i*72}
				\coordinate (p\i) at (\angle:\R);
				\fill (p\i) circle (2pt);
			}
			
			% 连接正五边形
			\draw[thick, blue] (p0) -- (p2) -- (p4) -- (p1) -- (p3) -- cycle;
			
			% 标记72度角
			\draw[->, thick] (0.5,0) arc (0:72:0.5);
			\node at (36:0.7) {$72^\circ$};
			
			% 标记弦长
			\draw[thick, red] (p0) -- node[midway, above] {$\text{crd}(72^\circ)$} (p1);
			
			% 标记中心
			\fill (0,0) circle (2pt) node[below] {$O$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{正五边形与$72^\circ$弦长示意图}
		\label{fig:pentagon}
	\end{figure}
	
	托勒密通过正五边形和正十边形的性质计算特殊角度的弦长：
	
	\subsection{正十边形的弦长}
	正十边形的中心角为$36^\circ$，托勒密利用黄金比例性质得到：
	\begin{equation}
		\text{crd}(36^\circ) = R \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 60 \times 0.618034 \approx 37.082
	\end{equation}
	
	\subsection{正五边形的弦长}
	正五边形的中心角为$72^\circ$，利用正五边形与正十边形的关系：
	\begin{equation}
		[\text{crd}(72^\circ)]^2 = R^2 + [\text{crd}(36^\circ)]^2 - R \cdot \text{crd}(36^\circ)
	\end{equation}
	计算得 $\text{crd}(72^\circ) \approx 70.534$。
	
	\section{弦表构建的具体步骤}
	
	\subsection{步骤一：计算特殊角度的弦值}
	\begin{align*}
		\text{crd}(36^\circ) &\approx 37.082 \\
		\text{crd}(72^\circ) &\approx 70.534 \\
		\text{crd}(60^\circ) &= 60 \\
		\text{crd}(90^\circ) &\approx 84.8528 \\
		\text{crd}(120^\circ) &\approx 103.923
	\end{align*}
	
	\subsection{步骤二：利用半角公式迭代计算}
	
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{托勒密弦表迭代计算示例}
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			\textbf{已知弦值} & \textbf{应用公式} & \textbf{求得新弦值} \\
			\hline
			$\text{crd}(72^\circ)$ & 半角公式 & $\text{crd}(36^\circ)$ \\
			\hline
			$\text{crd}(36^\circ)$ & 半角公式 & $\text{crd}(18^\circ)$ \\
			\hline
			$\text{crd}(18^\circ)$ & 半角公式 & $\text{crd}(9^\circ)$ \\
			\hline
			$\text{crd}(9^\circ)$ & 半角公式 & $\text{crd}(4.5^\circ)$ \\
			\hline
			$\text{crd}(4.5^\circ)$ & 半角公式 & $\text{crd}(2.25^\circ)$ \\
			\hline
			$\text{crd}(2.25^\circ)$ & 半角公式 & $\text{crd}(1.125^\circ)$ \\
			\hline
			$\text{crd}(1.125^\circ)$ & 半角公式 & $\text{crd}(0.5625^\circ)$ \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\subsection{步骤三：计算$1^\circ$和$0.5^\circ$的弦值}
	通过正五边形和正六边形的组合，托勒密得到了$1^\circ$弦长的精确值：
	\begin{equation}
		\text{crd}(1^\circ) \approx 1.0472 \quad (\text{当} R = 60)
	\end{equation}
	
	再利用半角公式求得：
	\begin{equation}
		\text{crd}(0.5^\circ) \approx 0.5236
	\end{equation}
	
	\subsection{步骤四：线性插值计算中间值}
	托勒密发现对于小角度，弦长与角度近似成正比，因此采用线性插值计算中间值：
	\begin{equation}
		\text{crd}(\theta + \Delta\theta) \approx \text{crd}(\theta) + \frac{\Delta\theta}{1^\circ}[\text{crd}(1^\circ) - \text{crd}(0^\circ)]
	\end{equation}
	
	\section{弦表的精度与验证}
	
	\subsection{精度分析}
	托勒密的弦表具有相当高的精度：
	\begin{itemize}
		\item $1^\circ$弦长的相对误差小于$0.1\%$
		\item 大部分角度的计算误差在$10^{-4}$数量级
		\item 采用六十进制分数系统减少了舍入误差
	\end{itemize}
	
	\subsection{内部一致性验证}
	托勒密通过多种方法交叉验证结果：
	\begin{align*}
		\text{crd}(36^\circ) &= \text{crd}(72^\circ) \cdot \sin(18^\circ) \\
		\text{crd}(60^\circ) &= \text{crd}(120^\circ) \cdot \sin(30^\circ) \\
		\text{crd}(90^\circ) &= \text{crd}(180^\circ) \cdot \sin(45^\circ)
	\end{align*}
	
	\section{历史意义与科学价值}
	
	\subsection{数学意义}
	\begin{itemize}
		\item 建立了系统的三角学计算方法
		\item 发展了迭代逼近的数学技术
		\item 完善了插值理论的应用
	\end{itemize}
	
	\subsection{天文学应用}
	弦表为天文学提供了 essential 的计算工具：
	\begin{itemize}
		\item 行星位置计算
		\item 日月食预测
		\item 恒星位置测量
		\item 历法编制
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	托勒密在《天文学大成》中推导弦表的过程体现了古希腊数学的高度发展水平。他通过严谨的几何证明、巧妙的数学方法和精密的计算技术，成功编制了古代最精确的三角函数表。托勒密的工作不仅为当时的天文学研究提供了 essential 的计算工具，也为后世三角学的发展奠定了坚实基础。其半角公式、补角公式和迭代计算方法至今仍在数学教育中具有重要价值。
	
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem{toomer} Toomer, G. J. (1984). \textit{Ptolemy's Almagest}. Springer-Verlag.
		\bibitem{van} Van Brummelen, G. (2009). \textit{The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry}. Princeton University Press.
		\bibitem{pedersen} Pedersen, O. (1974). \textit{A Survey of the Almagest}. Odense University Press.
		\bibitem{neugebauer} Neugebauer, O. (1975). \textit{A History of Ancient Mathematical Astronomy}. Springer-Verlag.
		\bibitem{heath} Heath, T. L. (1921). \textit{A History of Greek Mathematics}. Oxford University Press.
	\end{thebibliography}
	